函数与基本初等函数之对数与对数函数

 6.对数与对数函数

•课标解读：
  内容标准：理解对数的概念及运算性质；掌握对数函数的概念、图象、性质。
  行为目标：1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；
2. 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点；
3.知道对数函数是一类重要的函数模型；
4.了解指数函数  与对数函数  互为反函数（  ）。
•考纲精析：考纲要求：1. 理解对数的概念及其运算性质；
                      2.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步
理解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索能理解其单调性与特殊点。
            命题热点：1.高考考查定义与图象以及他们的主要性质，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论及运算能力为主。
                      2.结合其他章节知识考查对数、对数函数的图象与性质。常与导数结合考查单调性、极值、最值及某些参数的范围问题，以选择题、填空题为主，也用综合性较强的解答题出现。
•学情分析：重点：对数的定义及对数的运算性质；对数函数的图象和性质。
            难点：换底公式及对数式变形； 和 时对数函数的不同性质。
            关键：充分利用指对互化；利用图象记忆。
•高考真题：
 1.（四川理13）计算 _______．
【答案】－20
【解析】 ．
2.（天津文6）设 ， ， ，则（　　　）．
Ａ． 　　　　　　　Ｂ．  
Ｃ． 　　　　　　　Ｄ．  
【答案】D
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，故选Ｄ．
3（2010广东文数）函数 的定义域是
A.           B.          C.        D.  
解： ，得 ，选B.

4.（江苏2）函数 的单调增区间是__________
【答案】 
【解析】 在  在 大于零,且增.
本题主要考查函数的概念，基本性质，指数与对数，对数函数图象和性质，容易题
•基础过关
1.（安徽文5）若点(a,b)在  图像上， ,则下列点也在此图像上的是
（A）（ ，b）  (B)  (10a,1 b)    (C) ( ,b+1)       (D)(a2,2b)
【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.
【解析】由题意 ， ，即 也在函数  图像上.
2.（重庆理5）下列区间中，函数 = 在其上为增函数的是                      
（A）（-        （B）      （C）     （D） 
【答案】D
3. (重庆文6)设 , , ,则 , , 的大小关系是
(A) 　　　　　　　　　　(B) 
(C) 　　　　　　　　　　(D) 
【答案】B

（2010湖南文数）8.函数y=ax2+ bx与y=   (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是D

4（2010浙江理数）设函数的集合
 ，
平面上点的集合
 ，
则在同一直角坐标系中， 中函数 的图象恰好经过 中两个点的函数的个数是
（A）4              （B）6          （C）8            （D）10
解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a= ,b=0; a= ,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B，本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题
5（2010全国卷2理数）函数 的反函数是
（A）         （B） 
（C）        （D） 
【答案】D
【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。
【解析】由原函数解得 ，即 ，又 ；
 ∴在反函数中 ，故选D.

6（2010陕西文数）下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是             [C]
 （A）幂函数   （B）对数函数  （C）指数函数  （D）余弦函数
解析：本题考查幂的运算性质 
 
7（2010辽宁文数）设 ，且 ，则 
（A）       （B）10       （C）20        （D）100
解析：选A. 又

8（2010浙江文数）已知函数  若   =
(A)0    (B)1    (C)2    (D)3
解析： +1=2，故 =1，选B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题
9（2010四川理数）2log510＋log50.25＝w_w_w.k*s 5*u.c o*m
（A）0        （B）1         （C） 2         （D）4w_w w. k#s5_u.c o*m
解析：2log510＋log50.25
＝log5100＋log50.25
＝log525
＝2
答案：C
10（2010天津文数）设 
(A)a<c<b     (B) )b<c<a   (C) )a<b<c    (D) )b<a<c
【答案】D
【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法，属于容易题。
因为 
【温馨提示】比较对数值的大小时，通常利用0，1进行，本题也可以利用对数函数的图像进行比较。
11（2010全国卷1文数）已知函数 .若 且， ，则 的取值范围是
(A)      (B) (C)     (D)  
C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b= ,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.
【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或 ，所以a+b= 
又0<a<b,所以0<a<1<b，令  由“对勾”函数的性质知函数 在 (0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).
【解析2】由0<a<b,且f(a)=f(b)得： ，利用线性规划得： ，化为求 的取值范围问题， ， 过点 时z最小为2,∴(C)  
12（2010全国卷1理数）已知函数f(x)=|lgx|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是
(A)    (B)    (C)   (D) 
 
13（2010四川文数）函数y=log2x的图象大致是高^考#资*源^网
    
(A)               (B)             (C)             (D)
解析：本题考查对数函数的图象和基本性质.
答案：C

14（2010湖北文数）已知函数 ，则 
A.4    B.      C.-4    D- 
【答案】B
【解析】根据分段函数可得 ，则 ，
所以B正确.

15. (重庆文15)若实数 , , 满足 , ，则 的最大值是_____________.
【答案】 
16（上海文3）若函数 的反函数为 ，则 _____________
【答案】 
17.（上海理1）函数 的反函数为 _____________. 
【答案】 
18（2010上海文数）函数 的反函数的图像与 轴的交点坐标是     (0,2)     。
解析：考查反函数相关概念、性质
法一：函数 的反函数为 ，另x=0，有y=-2
法二：函数 图像与x轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数 的反函数的图像与 轴的交点为（0，-2）
19（2010广东理数）函数 =lg( -2)的定义域是          .
(1,+∞) ．∵ ，∴ ．[来源:高考
20（2010湖北文数）求函数 的定义域
(  ,1)
21（2010天津理数）若函数f(x)= ,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是
【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。
由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。
  
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。